2x^2+7x-4=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

x を解く

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 2x^{2}+ax+bx-4 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -8 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,8 -2,4$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+8=7 -2+4=2$$

解は和が 7 になる組み合わせです。

$$a=-1 b=8$$

2x^{2}+7x-4 を \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right) に書き換えます。

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 4 をくくり出します。

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-1 を除外します。

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-1=0 と x+4=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$2x^{2}+7x-4=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に 7 を代入し、c に -4 を代入します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

7 を 2 乗します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

-4 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

-8 と -4 を乗算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

49 を 32 に加算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

81 の平方根をとります。

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

2 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-7±9}{4} の解を求めます。 -7 を 9 に加算します。

$$x=\frac{2}{4}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{2}{4} を約分します。

$$x=\frac{1}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-7±9}{4} の解を求めます。 -7 から 9 を減算します。

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 を 4 で除算します。

$$x=-4$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$2x^{2}+7x-4=0$$

方程式の両辺に 4 を加算します。

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

それ自体から -4 を減算すると 0 のままです。

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

0 から -4 を減算します。

$$2x^{2}+7x=4$$

両辺を 2 で除算します。

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

4 を 2 で除算します。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

\frac{7}{2} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{7}{4} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{7}{4} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

2 を \frac{49}{16} に加算します。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

方程式の両辺から \frac{7}{4} を減算します。

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$