2x^2+3x-90=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 2x^{2}+ax+bx-90 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -180 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

解は和が 3 になる組み合わせです。

$$a=-12 b=15$$

2x^{2}+3x-90 を \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) に書き換えます。

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの 15 をくくり出します。

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-6 を除外します。

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

方程式の解を求めるには、x-6=0 と 2x+15=0 を解きます。

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$2x^{2}+3x-90=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に 3 を代入し、c に -90 を代入します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

3 を 2 乗します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 と -90 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

9 を 720 に加算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

729 の平方根をとります。

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-3±27}{4} の解を求めます。 -3 を 27 に加算します。

$$x=\frac{24}{4}$$

24 を 4 で除算します。

$$x=6$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-3±27}{4} の解を求めます。 -3 から 27 を減算します。

$$x=-\frac{30}{4}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-30}{4} を約分します。

$$x=-\frac{15}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$2x^{2}+3x-90=0$$

方程式の両辺に 90 を加算します。

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

それ自体から -90 を減算すると 0 のままです。

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

0 から -90 を減算します。

$$2x^{2}+3x=90$$

両辺を 2 で除算します。

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 を 2 で除算します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

\frac{3}{2} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{3}{4} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{3}{4} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

45 を \frac{9}{16} に加算します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

因数x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

方程式の両辺から \frac{3}{4} を減算します。

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$