2x^2-11x-40=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

x を解く

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 2x^{2}+ax+bx-40 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -80 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

解は和が -11 になる組み合わせです。

$$a=-16 b=5$$

2x^{2}-11x-40 を \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) に書き換えます。

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの 5 をくくり出します。

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-8 を除外します。

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

方程式の解を求めるには、x-8=0 と 2x+5=0 を解きます。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$2x^{2}-11x-40=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に -11 を代入し、c に -40 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-11 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 と -40 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

121 を 320 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 の反数は 11 です。

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{11±21}{4}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{11±21}{4} の解を求めます。 11 を 21 に加算します。

$$x=\frac{32}{4}$$

32 を 4 で除算します。

$$x=8$$

± が負の時の方程式 x=\frac{11±21}{4} の解を求めます。 11 から 21 を減算します。

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-10}{4} を約分します。

$$x=-\frac{5}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$2x^{2}-11x-40=0$$

方程式の両辺に 40 を加算します。

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

それ自体から -40 を減算すると 0 のままです。

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

0 から -40 を減算します。

$$2x^{2}-11x=40$$

両辺を 2 で除算します。

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 を 2 で除算します。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

-\frac{11}{2} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{11}{4} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{11}{4} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

-\frac{11}{4} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

20 を \frac{121}{16} に加算します。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

因数x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

方程式の両辺に \frac{11}{4} を加算します。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$