2x^2+13x-24=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

x を解く

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 2x^{2}+ax+bx-24 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -48 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

解は和が 13 になる組み合わせです。

$$a=-3 b=16$$

2x^{2}+13x-24 を \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right) に書き換えます。

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 8 をくくり出します。

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-3 を除外します。

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-3=0 と x+8=0 を解きます。

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$2x^{2}+13x-24=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に 13 を代入し、c に -24 を代入します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

13 を 2 乗します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-4 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-8 と -24 を乗算します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

169 を 192 に加算します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

361 の平方根をとります。

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

2 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-13±19}{4} の解を求めます。 -13 を 19 に加算します。

$$x=\frac{6}{4}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{6}{4} を約分します。

$$x=\frac{3}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-13±19}{4} の解を求めます。 -13 から 19 を減算します。

$$x=-\frac{32}{4}$$

-32 を 4 で除算します。

$$x=-8$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$2x^{2}+13x-24=0$$

方程式の両辺に 24 を加算します。

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

それ自体から -24 を減算すると 0 のままです。

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

0 から -24 を減算します。

$$2x^{2}+13x=24$$

両辺を 2 で除算します。

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

24 を 2 で除算します。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

\frac{13}{2} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{13}{4} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{13}{4} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

\frac{13}{4} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

12 を \frac{169}{16} に加算します。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

因数x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

方程式の両辺から \frac{13}{4} を減算します。

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$