18x^2-9x-5=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 18x^{2}+ax+bx-5 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -90 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

解は和が -9 になる組み合わせです。

$$a=-15 b=6$$

18x^{2}-9x-5 を \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) に書き換えます。

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

3x の 18x^{2}-15x を除外します。

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

分配特性を使用して一般項 6x-5 を除外します。

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、6x-5=0 と 3x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$18x^{2}-9x-5=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 18 を代入し、b に -9 を代入し、c に -5 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-9 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-4 と 18 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-72 と -5 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

81 を 360 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 の反数は 9 です。

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

2 と 18 を乗算します。

$$x=\frac{9±21}{36}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{9±21}{36} の解を求めます。 9 を 21 に加算します。

$$x=\frac{30}{36}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{30}{36} を約分します。

$$x=\frac{5}{6}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{9±21}{36} の解を求めます。 9 から 21 を減算します。

$$x=-\frac{12}{36}$$

12 を開いて消去して、分数 \frac{-12}{36} を約分します。

$$x=-\frac{1}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$18x^{2}-9x-5=0$$

方程式の両辺に 5 を加算します。

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

それ自体から -5 を減算すると 0 のままです。

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

0 から -5 を減算します。

$$18x^{2}-9x=5$$

両辺を 18 で除算します。

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18 で除算すると、18 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

9 を開いて消去して、分数 \frac{-9}{18} を約分します。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

-\frac{1}{2} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{4} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{4} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{5}{18} を \frac{1}{16} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

因数 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

方程式の両辺に \frac{1}{4} を加算します。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$