16x^2+10x-9=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 16x^{2}+ax+bx-9 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -144 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

解は和が 10 になる組み合わせです。

$$a=-8 b=18$$

16x^{2}+10x-9 を \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right) に書き換えます。

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

1 番目のグループの 8x と 2 番目のグループの 9 をくくり出します。

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-1 を除外します。

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-1=0 と 8x+9=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$16x^{2}+10x-9=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 16 を代入し、b に 10 を代入し、c に -9 を代入します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

10 を 2 乗します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-4 と 16 を乗算します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-64 と -9 を乗算します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

100 を 576 に加算します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

676 の平方根をとります。

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

2 と 16 を乗算します。

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-10±26}{32} の解を求めます。 -10 を 26 に加算します。

$$x=\frac{16}{32}$$

16 を開いて消去して、分数 \frac{16}{32} を約分します。

$$x=\frac{1}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-10±26}{32} の解を求めます。 -10 から 26 を減算します。

$$x=-\frac{36}{32}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-36}{32} を約分します。

$$x=-\frac{9}{8}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$16x^{2}+10x-9=0$$

方程式の両辺に 9 を加算します。

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

それ自体から -9 を減算すると 0 のままです。

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

0 から -9 を減算します。

$$16x^{2}+10x=9$$

両辺を 16 で除算します。

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

16 で除算すると、16 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{10}{16} を約分します。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

\frac{5}{8} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{5}{16} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{5}{16} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

\frac{5}{16} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{9}{16} を \frac{25}{256} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

方程式の両辺から \frac{5}{16} を減算します。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$