15x^2+11x+2=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 15x^{2}+ax+bx+2 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 30 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

解は和が 11 になる組み合わせです。

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 を \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) に書き換えます。

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

1 番目のグループの 5x と 2 番目のグループの 2 をくくり出します。

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x+1 を除外します。

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

方程式の解を求めるには、3x+1=0 と 5x+2=0 を解きます。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$15x^{2}+11x+2=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 15 を代入し、b に 11 を代入し、c に 2 を代入します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 を 2 乗します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 と 15 を乗算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

121 を -120 に加算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1 の平方根をとります。

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 と 15 を乗算します。

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-11±1}{30} の解を求めます。 -11 を 1 に加算します。

$$x=-\frac{10}{30}$$

10 を開いて消去して、分数 \frac{-10}{30} を約分します。

$$x=-\frac{1}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-11±1}{30} の解を求めます。 -11 から 1 を減算します。

$$x=-\frac{12}{30}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{-12}{30} を約分します。

$$x=-\frac{2}{5}$$

方程式が解けました。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$15x^{2}+11x+2=0$$

方程式の両辺から 2 を減算します。

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

それ自体から 2 を減算すると 0 のままです。

$$15x^{2}+11x=-2$$

両辺を 15 で除算します。

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 で除算すると、15 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

\frac{11}{15} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{11}{30} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{11}{30} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

\frac{11}{30} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{2}{15} を \frac{121}{900} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

因数x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

方程式の両辺から \frac{11}{30} を減算します。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$