15x^2+4x-4=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

x を解く

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 15x^{2}+ax+bx-4 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -60 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

解は和が 4 になる組み合わせです。

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 を \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) に書き換えます。

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 2 をくくり出します。

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

分配特性を使用して一般項 5x-2 を除外します。

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

方程式の解を求めるには、5x-2=0 と 3x+2=0 を解きます。

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$15x^{2}+4x-4=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 15 を代入し、b に 4 を代入し、c に -4 を代入します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4 を 2 乗します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 と 15 を乗算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 と -4 を乗算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

16 を 240 に加算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256 の平方根をとります。

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

2 と 15 を乗算します。

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-4±16}{30} の解を求めます。 -4 を 16 に加算します。

$$x=\frac{12}{30}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{12}{30} を約分します。

$$x=\frac{2}{5}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-4±16}{30} の解を求めます。 -4 から 16 を減算します。

$$x=-\frac{20}{30}$$

10 を開いて消去して、分数 \frac{-20}{30} を約分します。

$$x=-\frac{2}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$15x^{2}+4x-4=0$$

方程式の両辺に 4 を加算します。

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

それ自体から -4 を減算すると 0 のままです。

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

0 から -4 を減算します。

$$15x^{2}+4x=4$$

両辺を 15 で除算します。

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15 で除算すると、15 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

\frac{4}{15} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{2}{15} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{2}{15} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

\frac{2}{15} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{4}{15} を \frac{4}{225} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

方程式の両辺から \frac{2}{15} を減算します。

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$