14x^2-29x-15=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 14x^{2}+ax+bx-15 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -210 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

解は和が -29 になる組み合わせです。

$$a=-35 b=6$$

14x^{2}-29x-15 を \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right) に書き換えます。

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

1 番目のグループの 7x と 2 番目のグループの 3 をくくり出します。

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-5 を除外します。

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-5=0 と 7x+3=0 を解きます。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$14x^{2}-29x-15=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 14 を代入し、b に -29 を代入し、c に -15 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-29 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-4 と 14 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-56 と -15 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

841 を 840 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

1681 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

-29 の反数は 29 です。

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

2 と 14 を乗算します。

$$x=\frac{29±41}{28}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{29±41}{28} の解を求めます。 29 を 41 に加算します。

$$x=\frac{70}{28}$$

14 を開いて消去して、分数 \frac{70}{28} を約分します。

$$x=\frac{5}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{29±41}{28} の解を求めます。 29 から 41 を減算します。

$$x=-\frac{12}{28}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-12}{28} を約分します。

$$x=-\frac{3}{7}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$14x^{2}-29x-15=0$$

方程式の両辺に 15 を加算します。

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

それ自体から -15 を減算すると 0 のままです。

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

0 から -15 を減算します。

$$14x^{2}-29x=15$$

両辺を 14 で除算します。

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

14 で除算すると、14 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

-\frac{29}{14} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{29}{28} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{29}{28} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

-\frac{29}{28} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{15}{14} を \frac{841}{784} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

因数x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

方程式の両辺に \frac{29}{28} を加算します。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$