13n^2-41n-120=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n を解く

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 13n^{2}+an+bn-120 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -1560 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

解は和が -41 になる組み合わせです。

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 を \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) に書き換えます。

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

1 番目のグループの 13n と 2 番目のグループの 24 をくくり出します。

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-5 を除外します。

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

方程式の解を求めるには、n-5=0 と 13n+24=0 を解きます。

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$13n^{2}-41n-120=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 13 を代入し、b に -41 を代入し、c に -120 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-41 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 と 13 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 と -120 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

1681 を 6240 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 の反数は 41 です。

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 と 13 を乗算します。

$$n=\frac{41±89}{26}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{41±89}{26} の解を求めます。 41 を 89 に加算します。

$$n=\frac{130}{26}$$

130 を 26 で除算します。

$$n=5$$

± が負の時の方程式 n=\frac{41±89}{26} の解を求めます。 41 から 89 を減算します。

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-48}{26} を約分します。

$$n=-\frac{24}{13}$$

方程式が解けました。

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$13n^{2}-41n-120=0$$

方程式の両辺に 120 を加算します。

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

それ自体から -120 を減算すると 0 のままです。

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

0 から -120 を減算します。

$$13n^{2}-41n=120$$

両辺を 13 で除算します。

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 で除算すると、13 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

-\frac{41}{13} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{41}{26} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{41}{26} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

-\frac{41}{26} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{120}{13} を \frac{1681}{676} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

因数n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

方程式の両辺に \frac{41}{26} を加算します。

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$