120x^2+8000x-92000=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

x を解く

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺を 40 で除算します。

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx-2300 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -6900 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

解は和が 200 になる組み合わせです。

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300 を \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 230 をくくり出します。

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-10 を除外します。

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

方程式の解を求めるには、x-10=0 と 3x+230=0 を解きます。

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 120 を代入し、b に 8000 を代入し、c に -92000 を代入します。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

8000 を 2 乗します。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4 と 120 を乗算します。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480 と -92000 を乗算します。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

64000000 を 44160000 に加算します。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

108160000 の平方根をとります。

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2 と 120 を乗算します。

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-8000±10400}{240} の解を求めます。 -8000 を 10400 に加算します。

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400 を 240 で除算します。

$$x=10$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-8000±10400}{240} の解を求めます。 -8000 から 10400 を減算します。

$$x=-\frac{18400}{240}$$

80 を開いて消去して、分数 \frac{-18400}{240} を約分します。

$$x=-\frac{230}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

方程式の両辺に 92000 を加算します。

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

それ自体から -92000 を減算すると 0 のままです。

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

0 から -92000 を減算します。

$$120x^{2}+8000x=92000$$

両辺を 120 で除算します。

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120 で除算すると、120 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

40 を開いて消去して、分数 \frac{8000}{120} を約分します。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

40 を開いて消去して、分数 \frac{92000}{120} を約分します。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

\frac{200}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{100}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{100}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{2300}{3} を \frac{10000}{9} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

方程式の両辺から \frac{100}{3} を減算します。

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$