12x^2-5x-3=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 12x^{2}+ax+bx-3 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -36 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

解は和が -5 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=4$$

12x^{2}-5x-3 を \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right) に書き換えます。

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

3x の 12x^{2}-9x を除外します。

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

分配特性を使用して一般項 4x-3 を除外します。

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、4x-3=0 と 3x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$12x^{2}-5x-3=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 12 を代入し、b に -5 を代入し、c に -3 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

-5 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

-4 と 12 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

-48 と -3 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

25 を 144 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

169 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

-5 の反数は 5 です。

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

2 と 12 を乗算します。

$$x=\frac{5±13}{24}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{5±13}{24} の解を求めます。 5 を 13 に加算します。

$$x=\frac{18}{24}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{18}{24} を約分します。

$$x=\frac{3}{4}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{5±13}{24} の解を求めます。 5 から 13 を減算します。

$$x=-\frac{8}{24}$$

8 を開いて消去して、分数 \frac{-8}{24} を約分します。

$$x=-\frac{1}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$12x^{2}-5x-3=0$$

方程式の両辺に 3 を加算します。

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

それ自体から -3 を減算すると 0 のままです。

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0 から -3 を減算します。

$$12x^{2}-5x=3$$

両辺を 12 で除算します。

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

12 で除算すると、12 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

3 を開いて消去して、分数 \frac{3}{12} を約分します。

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{12} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{5}{24} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{5}{24} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

-\frac{5}{24} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1}{4} を \frac{25}{576} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

因数x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

方程式の両辺に \frac{5}{24} を加算します。

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$