12(n-4)-30=n^2-9n+12 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

n を解く

$$n=6$$

$$n=15$$

グループ化による因数分解を使用する手順

分配則を使用して 12 と n-4 を乗算します。

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-48 から 30 を減算して -78 を求めます。

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

両辺から n^{2} を減算します。

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

9n を両辺に追加します。

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n と 9n をまとめて 21n を求めます。

$$21n-78-n^{2}=12$$

両辺から 12 を減算します。

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-78 から 12 を減算して -90 を求めます。

$$21n-90-n^{2}=0$$

多項式を再整理して標準形にします。項を降べきの順に配置します。

$$-n^{2}+21n-90=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を -n^{2}+an+bn-90 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 90 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

解は和が 21 になる組み合わせです。

$$a=15 b=6$$

-n^{2}+21n-90 を \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right) に書き換えます。

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

1 番目のグループの -n と 2 番目のグループの 6 をくくり出します。

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-15 を除外します。

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

方程式の解を求めるには、n-15=0 と -n+6=0 を解きます。

$$n=15 n=6$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

分配則を使用して 12 と n-4 を乗算します。

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-48 から 30 を減算して -78 を求めます。

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

両辺から n^{2} を減算します。

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

9n を両辺に追加します。

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n と 9n をまとめて 21n を求めます。

$$21n-78-n^{2}=12$$

両辺から 12 を減算します。

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-78 から 12 を減算して -90 を求めます。

$$21n-90-n^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$-n^{2}+21n-90=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に -1 を代入し、b に 21 を代入し、c に -90 を代入します。

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

21 を 2 乗します。

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 と -1 を乗算します。

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 と -90 を乗算します。

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

441 を -360 に加算します。

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

81 の平方根をとります。

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

2 と -1 を乗算します。

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{-21±9}{-2} の解を求めます。 -21 を 9 に加算します。

$$n=-\frac{12}{-2}$$

-12 を -2 で除算します。

$$n=6$$

± が負の時の方程式 n=\frac{-21±9}{-2} の解を求めます。 -21 から 9 を減算します。

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-30 を -2 で除算します。

$$n=15$$

方程式が解けました。

$$n=6 n=15$$

完全平方にする手順

分配則を使用して 12 と n-4 を乗算します。

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-48 から 30 を減算して -78 を求めます。

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

両辺から n^{2} を減算します。

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

9n を両辺に追加します。

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n と 9n をまとめて 21n を求めます。

$$21n-78-n^{2}=12$$

78 を両辺に追加します。

$$21n-n^{2}=12+78$$

12 と 78 を加算して 90 を求めます。

$$21n-n^{2}=90$$

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$-n^{2}+21n=90$$

両辺を -1 で除算します。

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

-1 で除算すると、-1 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

21 を -1 で除算します。

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

90 を -1 で除算します。

$$n^{2}-21n=-90$$

-21 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{21}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{21}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

-\frac{21}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

-90 を \frac{441}{4} に加算します。

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

因数 n^{2}-21n+\frac{441}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

方程式の両辺に \frac{21}{2} を加算します。

$$n=15 n=6$$