12x^2+32x+5=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

x を解く

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 12x^{2}+ax+bx+5 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 60 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

解は和が 32 になる組み合わせです。

$$a=2 b=30$$

12x^{2}+32x+5 を \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right) に書き換えます。

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの 5 をくくり出します。

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

分配特性を使用して一般項 6x+1 を除外します。

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

方程式の解を求めるには、6x+1=0 と 2x+5=0 を解きます。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$12x^{2}+32x+5=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 12 を代入し、b に 32 を代入し、c に 5 を代入します。

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

32 を 2 乗します。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-4 と 12 を乗算します。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

-48 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

1024 を -240 に加算します。

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

784 の平方根をとります。

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

2 と 12 を乗算します。

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-32±28}{24} の解を求めます。 -32 を 28 に加算します。

$$x=-\frac{4}{24}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-4}{24} を約分します。

$$x=-\frac{1}{6}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-32±28}{24} の解を求めます。 -32 から 28 を減算します。

$$x=-\frac{60}{24}$$

12 を開いて消去して、分数 \frac{-60}{24} を約分します。

$$x=-\frac{5}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$12x^{2}+32x+5=0$$

方程式の両辺から 5 を減算します。

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

それ自体から 5 を減算すると 0 のままです。

$$12x^{2}+32x=-5$$

両辺を 12 で除算します。

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12 で除算すると、12 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{32}{12} を約分します。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

\frac{8}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{4}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{4}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{5}{12} を \frac{16}{9} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

因数 x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

方程式の両辺から \frac{4}{3} を減算します。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$