12x^2+13x+3=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 12x^{2}+ax+bx+3 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 36 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

解は和が 13 になる組み合わせです。

$$a=4 b=9$$

12x^{2}+13x+3 を \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right) に書き換えます。

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

1 番目のグループの 4x と 2 番目のグループの 3 をくくり出します。

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x+1 を除外します。

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

方程式の解を求めるには、3x+1=0 と 4x+3=0 を解きます。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$12x^{2}+13x+3=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 12 を代入し、b に 13 を代入し、c に 3 を代入します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

13 を 2 乗します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

-4 と 12 を乗算します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

-48 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

169 を -144 に加算します。

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

25 の平方根をとります。

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

2 と 12 を乗算します。

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-13±5}{24} の解を求めます。 -13 を 5 に加算します。

$$x=-\frac{8}{24}$$

8 を開いて消去して、分数 \frac{-8}{24} を約分します。

$$x=-\frac{1}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-13±5}{24} の解を求めます。 -13 から 5 を減算します。

$$x=-\frac{18}{24}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{-18}{24} を約分します。

$$x=-\frac{3}{4}$$

方程式が解けました。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$12x^{2}+13x+3=0$$

方程式の両辺から 3 を減算します。

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

それ自体から 3 を減算すると 0 のままです。

$$12x^{2}+13x=-3$$

両辺を 12 で除算します。

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12 で除算すると、12 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

3 を開いて消去して、分数 \frac{-3}{12} を約分します。

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

\frac{13}{12} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{13}{24} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{13}{24} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

\frac{13}{24} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{4} を \frac{169}{576} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

因数x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

方程式の両辺から \frac{13}{24} を減算します。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$