11x^2+40x-112=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$11 x ^ { 2 } + 40 x - 112 = 0$$

x を解く

$$x = \frac{4 \sqrt{102} - 20}{11} \approx 1.854365432$$

$$x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}\approx -5.490729068$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$11x^{2}+40x-112=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 11 を代入し、b に 40 を代入し、c に -112 を代入します。

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 11\left(-112\right)}}{2\times 11}$$

40 を 2 乗します。

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 11\left(-112\right)}}{2\times 11}$$

-4 と 11 を乗算します。

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-44\left(-112\right)}}{2\times 11}$$

-44 と -112 を乗算します。

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4928}}{2\times 11}$$

1600 を 4928 に加算します。

$$x=\frac{-40±\sqrt{6528}}{2\times 11}$$

6528 の平方根をとります。

$$x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{2\times 11}$$

2 と 11 を乗算します。

$$x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{22}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{22} の解を求めます。 -40 を 8\sqrt{102} に加算します。

$$x=\frac{8\sqrt{102}-40}{22}$$

-40+8\sqrt{102} を 22 で除算します。

$$x=\frac{4\sqrt{102}-20}{11}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{22} の解を求めます。 -40 から 8\sqrt{102} を減算します。

$$x=\frac{-8\sqrt{102}-40}{22}$$

-40-8\sqrt{102} を 22 で除算します。

$$x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{4\sqrt{102}-20}{11} x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$11x^{2}+40x-112=0$$

方程式の両辺に 112 を加算します。

$$11x^{2}+40x-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

それ自体から -112 を減算すると 0 のままです。

$$11x^{2}+40x=-\left(-112\right)$$

0 から -112 を減算します。

$$11x^{2}+40x=112$$

両辺を 11 で除算します。

$$\frac{11x^{2}+40x}{11}=\frac{112}{11}$$

11 で除算すると、11 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{40}{11}x=\frac{112}{11}$$

\frac{40}{11} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{20}{11} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{20}{11} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{40}{11}x+\left(\frac{20}{11}\right)^{2}=\frac{112}{11}+\left(\frac{20}{11}\right)^{2}$$

\frac{20}{11} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{40}{11}x+\frac{400}{121}=\frac{112}{11}+\frac{400}{121}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{112}{11} を \frac{400}{121} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{40}{11}x+\frac{400}{121}=\frac{1632}{121}$$

因数x^{2}+\frac{40}{11}x+\frac{400}{121}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{20}{11}\right)^{2}=\frac{1632}{121}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{20}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1632}{121}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{20}{11}=\frac{4\sqrt{102}}{11} x+\frac{20}{11}=-\frac{4\sqrt{102}}{11}$$

方程式の両辺から \frac{20}{11} を減算します。

$$x=\frac{4\sqrt{102}-20}{11} x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}$$