1000x^2-590x-561=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

x を解く

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 1000x^{2}+ax+bx-561 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -561000 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

解は和が -590 になる組み合わせです。

$$a=-1100 b=510$$

1000x^{2}-590x-561 を \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right) に書き換えます。

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

1 番目のグループの 100x と 2 番目のグループの 51 をくくり出します。

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

分配特性を使用して一般項 10x-11 を除外します。

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

方程式の解を求めるには、10x-11=0 と 100x+51=0 を解きます。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1000 を代入し、b に -590 を代入し、c に -561 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-590 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4 と 1000 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4000 と -561 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

348100 を 2244000 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

2592100 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

-590 の反数は 590 です。

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

2 と 1000 を乗算します。

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{590±1610}{2000} の解を求めます。 590 を 1610 に加算します。

$$x=\frac{2200}{2000}$$

200 を開いて消去して、分数 \frac{2200}{2000} を約分します。

$$x=\frac{11}{10}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{590±1610}{2000} の解を求めます。 590 から 1610 を減算します。

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

20 を開いて消去して、分数 \frac{-1020}{2000} を約分します。

$$x=-\frac{51}{100}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

方程式の両辺に 561 を加算します。

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

それ自体から -561 を減算すると 0 のままです。

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

0 から -561 を減算します。

$$1000x^{2}-590x=561$$

両辺を 1000 で除算します。

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

1000 で除算すると、1000 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

10 を開いて消去して、分数 \frac{-590}{1000} を約分します。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

-\frac{59}{100} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{59}{200} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{59}{200} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

-\frac{59}{200} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{561}{1000} を \frac{3481}{40000} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

因数 x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

方程式の両辺に \frac{59}{200} を加算します。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$