10k^2+9k-1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

k を解く

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 10k^{2}+ak+bk-1 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -10 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,10 -2,5$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+10=9 -2+5=3$$

解は和が 9 になる組み合わせです。

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 を \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) に書き換えます。

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

k の 10k^{2}-k を除外します。

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

分配特性を使用して一般項 10k-1 を除外します。

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

方程式の解を求めるには、10k-1=0 と k+1=0 を解きます。

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$10k^{2}+9k-1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 10 を代入し、b に 9 を代入し、c に -1 を代入します。

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 を 2 乗します。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 と 10 を乗算します。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 と -1 を乗算します。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

81 を 40 に加算します。

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121 の平方根をとります。

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2 と 10 を乗算します。

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

± が正の時の方程式 k=\frac{-9±11}{20} の解を求めます。 -9 を 11 に加算します。

$$k=\frac{2}{20}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{2}{20} を約分します。

$$k=\frac{1}{10}$$

± が負の時の方程式 k=\frac{-9±11}{20} の解を求めます。 -9 から 11 を減算します。

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 を 20 で除算します。

$$k=-1$$

方程式が解けました。

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$10k^{2}+9k-1=0$$

方程式の両辺に 1 を加算します。

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

それ自体から -1 を減算すると 0 のままです。

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

0 から -1 を減算します。

$$10k^{2}+9k=1$$

両辺を 10 で除算します。

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10 で除算すると、10 での乗算を元に戻します。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

\frac{9}{10} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{9}{20} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{9}{20} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

\frac{9}{20} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1}{10} を \frac{81}{400} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

因数k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

簡約化します。

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

方程式の両辺から \frac{9}{20} を減算します。

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$