(23-x)^2+x^2=17^2 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

x を解く

$$x=8$$

$$x=15$$

グループ化による因数分解を使用する手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(23-x\right)^{2} を展開します。

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

x^{2} と x^{2} をまとめて 2x^{2} を求めます。

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

17 の 2 乗を計算して 289 を求めます。

$$529-46x+2x^{2}=289$$

両辺から 289 を減算します。

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

529 から 289 を減算して 240 を求めます。

$$240-46x+2x^{2}=0$$

両辺を 2 で除算します。

$$120-23x+x^{2}=0$$

多項式を再整理して標準形にします。項を降べきの順に配置します。

$$x^{2}-23x+120=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を x^{2}+ax+bx+120 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 120 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

解は和が -23 になる組み合わせです。

$$a=-15 b=-8$$

x^{2}-23x+120 を \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの -8 をくくり出します。

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-15 を除外します。

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

方程式の解を求めるには、x-15=0 と x-8=0 を解きます。

$$x=15 x=8$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(23-x\right)^{2} を展開します。

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

x^{2} と x^{2} をまとめて 2x^{2} を求めます。

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

17 の 2 乗を計算して 289 を求めます。

$$529-46x+2x^{2}=289$$

両辺から 289 を減算します。

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

529 から 289 を減算して 240 を求めます。

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$2x^{2}-46x+240=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に -46 を代入し、c に 240 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-46 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-4 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

-8 と 240 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

2116 を -1920 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

196 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 の反数は 46 です。

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

2 と 2 を乗算します。

$$x=\frac{46±14}{4}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{46±14}{4} の解を求めます。 46 を 14 に加算します。

$$x=\frac{60}{4}$$

60 を 4 で除算します。

$$x=15$$

± が負の時の方程式 x=\frac{46±14}{4} の解を求めます。 46 から 14 を減算します。

$$x=\frac{32}{4}$$

32 を 4 で除算します。

$$x=8$$

方程式が解けました。

$$x=15 x=8$$

完全平方にする手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(23-x\right)^{2} を展開します。

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

x^{2} と x^{2} をまとめて 2x^{2} を求めます。

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

17 の 2 乗を計算して 289 を求めます。

$$529-46x+2x^{2}=289$$

両辺から 529 を減算します。

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

289 から 529 を減算して -240 を求めます。

$$-46x+2x^{2}=-240$$

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$2x^{2}-46x=-240$$

両辺を 2 で除算します。

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

-46 を 2 で除算します。

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

-240 を 2 で除算します。

$$x^{2}-23x=-120$$

-23 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{23}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{23}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

-\frac{23}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

-120 を \frac{529}{4} に加算します。

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

因数x^{2}-23x+\frac{529}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

方程式の両辺に \frac{23}{2} を加算します。

$$x=15 x=8$$