(2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

x を解く

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

解の手順

二項定理の \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} を使用して \left(2x+4\right)^{2} を展開します。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(3x-2\right)^{2} を展開します。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

9x^{2}-12x+4 の反数を求めるには、各項の半数を求めます。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

-9x^{2} と -40x^{2} をまとめて -49x^{2} を求めます。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

205 を両辺に追加します。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

-4 と 205 を加算して 201 を求めます。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

分配則を使用して -5x と 7-3x を乗算します。

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

分配則を使用して -35x+15x^{2} と 7+3x を乗算して同類項をまとめます。

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

16x と -245x をまとめて -229x を求めます。

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

4x^{2} と -49x^{2} をまとめて -45x^{2} を求めます。

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

-229x と 12x をまとめて -217x を求めます。

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

16 と 201 を加算して 217 を求めます。

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

方程式を再整理して標準形にします。項を降べきの順に配置します。

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

有理根定理では、多項式のすべての有理根が \frac{p}{q} の形式になり、p は定数項 217 を除算し、q は主係数 45 を除算します。 すべての候補 \frac{p}{q} を一覧表示します。

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

最小の絶対値からすべての整数値を試して、1 つの根を見つけます。整数の根が見つからない場合は、分数を試します。

$$x=1$$

因数定理では、x-k は多項式の各根 k の因数です。 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 を x-1 で除算して 45x^{2}-217 を求めます。 結果が 0 に等しい方程式を解きます。

$$45x^{2}-217=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式の a に 45、b に 0、c に -217 を代入します。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

計算を行います。

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

± がプラスで ± がマイナスであるときに、方程式の 45x^{2}-217=0 を計算します。

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

見つかったすべての解を一覧表示します。

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$