(2k-3)^2-4(3-2k)<0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

k を解く

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(2k-3\right)^{2} を展開します。

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

分配則を使用して -4 と 3-2k を乗算します。

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

9 から 12 を減算して -3 を求めます。

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

-12k と 8k をまとめて -4k を求めます。

$$4k^{2}-4k-3<0$$

不等式を解くには、左辺を因数分解します。 二次多項式は変換 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) を使用して因数分解できます。x_{1} と x_{2} は二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 の解です。

$$4k^{2}-4k-3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式の a に 4、b に -4、c に -3 を代入します。

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

計算を行います。

$$k=\frac{4±8}{8}$$

± がプラスで ± がマイナスであるときに、方程式の k=\frac{4±8}{8} を計算します。

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

取得した解を使用して不等式を書き換えます。

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

積が負の値になるには、k-\frac{3}{2} の符号が k+\frac{1}{2} の符号の逆である必要があります。 k-\frac{3}{2} が正で k+\frac{1}{2} が負の値の場合を考えます。

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

これは任意の k で False です。

$$k\in \emptyset$$

k+\frac{1}{2} が正で k-\frac{3}{2} が負の値の場合を考えます。

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

両方の不等式を満たす解は k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) です。

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

最終的な解は、取得した解の和集合です。

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$