y^2-15y=-54 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y を解く

$$y=6$$

$$y=9$$

因数分解を使用する手順

54 を両辺に追加します。

$$y^{2}-15y+54=0$$

方程式を解くには、公式 y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) を使用して y^{2}-15y+54 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-15 ab=54$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 54 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

解は和が -15 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=-6$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(y+a\right)\left(y+b\right) を書き換えます。

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

方程式の解を求めるには、y-9=0 と y-6=0 を解きます。

$$y=9 y=6$$

グループ化による因数分解を使用する手順

54 を両辺に追加します。

$$y^{2}-15y+54=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を y^{2}+ay+by+54 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 54 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

解は和が -15 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54 を \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) に書き換えます。

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

1 番目のグループの y と 2 番目のグループの -6 をくくり出します。

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

分配特性を使用して一般項 y-9 を除外します。

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

方程式の解を求めるには、y-9=0 と y-6=0 を解きます。

$$y=9 y=6$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$y^{2}-15y=-54$$

方程式の両辺に 54 を加算します。

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

それ自体から -54 を減算すると 0 のままです。

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

0 から -54 を減算します。

$$y^{2}-15y+54=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -15 を代入し、c に 54 を代入します。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 を 2 乗します。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 と 54 を乗算します。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

225 を -216 に加算します。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 の平方根をとります。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 の反数は 15 です。

$$y=\frac{15±3}{2}$$

± が正の時の方程式 y=\frac{15±3}{2} の解を求めます。 15 を 3 に加算します。

$$y=\frac{18}{2}$$

18 を 2 で除算します。

$$y=9$$

± が負の時の方程式 y=\frac{15±3}{2} の解を求めます。 15 から 3 を減算します。

$$y=\frac{12}{2}$$

12 を 2 で除算します。

$$y=6$$

方程式が解けました。

$$y=9 y=6$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$y^{2}-15y=-54$$

-15 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{15}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{15}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

-\frac{15}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

-54 を \frac{225}{4} に加算します。

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

因数y^{2}-15y+\frac{225}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

簡約化します。

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

方程式の両辺に \frac{15}{2} を加算します。

$$y=9 y=6$$