x^2-x-1>0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

x を解く

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

不等式を解くには、左辺を因数分解します。 二次多項式は変換 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) を使用して因数分解できます。x_{1} と x_{2} は二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 の解です。

$$x^{2}-x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式の a に 1、b に -1、c に -1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

計算を行います。

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

± がプラスで ± がマイナスであるときに、方程式の x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} を計算します。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

取得した解を使用して不等式を書き換えます。

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

積が正の値になるには、x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} と x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} がどちらも負または正の値である必要があります。 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} と x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} がどちらも負の値の場合を考えます。

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

両方の不等式を満たす解は x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} です。

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} と x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} がどちらも正の値の場合を考えます。

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

両方の不等式を満たす解は x>\frac{\sqrt{5}+1}{2} です。

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

最終的な解は、取得した解の和集合です。

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$