x^2-x-1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

x を解く

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}-x-1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -1 を代入し、c に -1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4 と -1 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

1 を 4 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-1 の反数は 1 です。

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} の解を求めます。 1 を \sqrt{5} に加算します。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} の解を求めます。 1 から \sqrt{5} を減算します。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}-x-1=0$$

方程式の両辺に 1 を加算します。

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

それ自体から -1 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0 から -1 を減算します。

$$x^{2}-x=1$$

-1 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

1 を \frac{1}{4} に加算します。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

方程式の両辺に \frac{1}{2} を加算します。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$