x^2-3x+1<0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

x を解く

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

不等式を解くには、左辺を因数分解します。 二次多項式は変換 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) を使用して因数分解できます。x_{1} と x_{2} は二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 の解です。

$$x^{2}-3x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式の a に 1、b に -3、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

計算を行います。

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

± がプラスの場合と ± がマイナスの場合に、方程式の x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} を解くことができます。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

取得した解を使用して不等式を書き換えます。

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

積が負の値になるには、x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} の符号が x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} の符号の逆である必要があります。 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} が正で x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} が負の値の場合を考えます。

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

これは任意の x で False です。

$$x\in \emptyset$$

x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} が正で x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} が負の値の場合を考えます。

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

両方の不等式を満たす解は x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right) です。

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

最終的な解は、取得した解の和集合です。

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$