x^2+3x-180=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$${ x }^{ 2 } +3x-180=0$$

x を解く

$$x=-15$$

$$x=12$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) を使用して x^{2}+3x-180 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=3 ab=-180$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -180 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

解は和が 3 になる組み合わせです。

$$a=-12 b=15$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(x+a\right)\left(x+b\right) を書き換えます。

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

方程式の解を求めるには、x-12=0 と x+15=0 を解きます。

$$x=12 x=-15$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を x^{2}+ax+bx-180 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -180 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

解は和が 3 になる組み合わせです。

$$a=-12 b=15$$

x^{2}+3x-180 を \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 15 をくくり出します。

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-12 を除外します。

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

方程式の解を求めるには、x-12=0 と x+15=0 を解きます。

$$x=12 x=-15$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}+3x-180=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に 3 を代入し、c に -180 を代入します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

3 を 2 乗します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 と -180 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

9 を 720 に加算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

729 の平方根をとります。

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-3±27}{2} の解を求めます。 -3 を 27 に加算します。

$$x=\frac{24}{2}$$

24 を 2 で除算します。

$$x=12$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-3±27}{2} の解を求めます。 -3 から 27 を減算します。

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 を 2 で除算します。

$$x=-15$$

方程式が解けました。

$$x=12 x=-15$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}+3x-180=0$$

方程式の両辺に 180 を加算します。

$$x^{2}+3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

それ自体から -180 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}+3x=-\left(-180\right)$$

0 から -180 を減算します。

$$x^{2}+3x=180$$

3 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{3}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{3}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

180 を \frac{9}{4} に加算します。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

因数 x^{2}+3x+\frac{9}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

方程式の両辺から \frac{3}{2} を減算します。

$$x=12 x=-15$$