t^2-109t+900=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

t を解く

$$t=9$$

$$t=100$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) を使用して t^{2}-109t+900 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-109 ab=900$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 900 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

解は和が -109 になる組み合わせです。

$$a=-100 b=-9$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(t+a\right)\left(t+b\right) を書き換えます。

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

方程式の解を求めるには、t-100=0 と t-9=0 を解きます。

$$t=100 t=9$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を t^{2}+at+bt+900 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 900 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

解は和が -109 になる組み合わせです。

$$a=-100 b=-9$$

t^{2}-109t+900 を \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right) に書き換えます。

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

1 番目のグループの t と 2 番目のグループの -9 をくくり出します。

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

分配特性を使用して一般項 t-100 を除外します。

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

方程式の解を求めるには、t-100=0 と t-9=0 を解きます。

$$t=100 t=9$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$t^{2}-109t+900=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -109 を代入し、c に 900 を代入します。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

-109 を 2 乗します。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

-4 と 900 を乗算します。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

11881 を -3600 に加算します。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

8281 の平方根をとります。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

-109 の反数は 109 です。

$$t=\frac{109±91}{2}$$

± が正の時の方程式 t=\frac{109±91}{2} の解を求めます。 109 を 91 に加算します。

$$t=\frac{200}{2}$$

200 を 2 で除算します。

$$t=100$$

± が負の時の方程式 t=\frac{109±91}{2} の解を求めます。 109 から 91 を減算します。

$$t=\frac{18}{2}$$

18 を 2 で除算します。

$$t=9$$

方程式が解けました。

$$t=100 t=9$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$t^{2}-109t+900=0$$

方程式の両辺から 900 を減算します。

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

それ自体から 900 を減算すると 0 のままです。

$$t^{2}-109t=-900$$

-109 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{109}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{109}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

-\frac{109}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

-900 を \frac{11881}{4} に加算します。

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

因数t^{2}-109t+\frac{11881}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

簡約化します。

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

方程式の両辺に \frac{109}{2} を加算します。

$$t=100 t=9$$