sqrt{x}=sqrt{1+sqrt{x}} を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\sqrt{ x } = \sqrt{ 1+ \sqrt{ x } }$$

x を解く

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

解の手順

方程式の両辺を 2 乗します。

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

\sqrt{x} の 2 乗を計算して x を求めます。

$$x=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

\sqrt{1+\sqrt{x}} の 2 乗を計算して 1+\sqrt{x} を求めます。

$$x=1+\sqrt{x}$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$x-1=\sqrt{x}$$

方程式の両辺を 2 乗します。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(x-1\right)^{2} を展開します。

$$x^{2}-2x+1=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

\sqrt{x} の 2 乗を計算して x を求めます。

$$x^{2}-2x+1=x$$

両辺から x を減算します。

$$x^{2}-2x+1-x=0$$

-2x と -x をまとめて -3x を求めます。

$$x^{2}-3x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -3 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

-3 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

9 を -4 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-3 の反数は 3 です。

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} の解を求めます。 3 を \sqrt{5} に加算します。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} の解を求めます。 3 から \sqrt{5} を減算します。

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

方程式 \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}} の x に \frac{\sqrt{5}+3}{2} を代入します。

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} は数式を満たしています。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}} の x に \frac{3-\sqrt{5}}{2} を代入します。

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} は、方程式を満たしていません。

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}} の x に \frac{\sqrt{5}+3}{2} を代入します。

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} は数式を満たしています。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+1} には独自の解があります。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$