sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=sqrt{x^4+2{x}^2} を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\sqrt{ { x }^{ 4 } +8 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -1 } = \sqrt{ { x }^{ 4 } +2 { x }^{ 2 } }$$

x を解く (複素数の解)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\approx -0.25-0.433012702i$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\approx -0.25+0.433012702i$$

解の手順

方程式の両辺を 2 乗します。

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} の 2 乗を計算して x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1 を求めます。

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{4}+2x^{2}} の 2 乗を計算して x^{4}+2x^{2} を求めます。

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

両辺から x^{4} を減算します。

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

x^{4} と -x^{4} をまとめて 0 を求めます。

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

両辺から 2x^{2} を減算します。

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

2x^{2} と -2x^{2} をまとめて 0 を求めます。

$$8x^{3}-1=0$$

有理根定理では、多項式のすべての有理根が \frac{p}{q} の形式になり、p は定数項 -1 を除算し、q は主係数 8 を除算します。 すべての候補 \frac{p}{q} を一覧表示します。

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

最小の絶対値からすべての整数値を試して、1 つの根を見つけます。整数の根が見つからない場合は、分数を試します。

$$x=\frac{1}{2}$$

因数定理では、x-k は多項式の各根 k の因数です。 8x^{3}-1 を 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 で除算して 4x^{2}+2x+1 を求めます。 結果が 0 に等しい方程式を解きます。

$$4x^{2}+2x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式の a に 4、b に 2、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

計算を行います。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

± がプラスで ± がマイナスであるときに、方程式の 4x^{2}+2x+1=0 を計算します。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

見つかったすべての解を一覧表示します。

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

方程式 \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} の x に \frac{1}{2} を代入します。

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{1}{2} は数式を満たしています。

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

方程式 \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} の x に \frac{-\sqrt{3}i-1}{4} を代入します。

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} は数式を満たしています。

$$\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} の x に \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} を代入します。

$$\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4} は数式を満たしています。

$$\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} のすべての解を一覧表示します。

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

x を解く

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

解の手順

方程式の両辺を 2 乗します。

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} の 2 乗を計算して x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1 を求めます。

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{4}+2x^{2}} の 2 乗を計算して x^{4}+2x^{2} を求めます。

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

両辺から x^{4} を減算します。

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

x^{4} と -x^{4} をまとめて 0 を求めます。

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

両辺から 2x^{2} を減算します。

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

2x^{2} と -2x^{2} をまとめて 0 を求めます。

$$8x^{3}-1=0$$

有理根定理では、多項式のすべての有理根が \frac{p}{q} の形式になり、p は定数項 -1 を除算し、q は主係数 8 を除算します。 すべての候補 \frac{p}{q} を一覧表示します。

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

最小の絶対値からすべての整数値を試して、1 つの根を見つけます。整数の根が見つからない場合は、分数を試します。

$$x=\frac{1}{2}$$

因数定理では、x-k は多項式の各根 k の因数です。 8x^{3}-1 を 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 で除算して 4x^{2}+2x+1 を求めます。 結果が 0 に等しい方程式を解きます。

$$4x^{2}+2x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式の a に 4、b に 2、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

計算を行います。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

負の数値の平方根が実体で定義されていないため、解がありません。

$$x\in \emptyset$$

見つかったすべての解を一覧表示します。

$$x=\frac{1}{2}$$

方程式 \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} の x に \frac{1}{2} を代入します。

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

簡約化します。 値 x=\frac{1}{2} は数式を満たしています。

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

方程式 \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} には独自の解があります。

$$x=\frac{1}{2}$$