{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x,y を解く

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

代入と二次方程式の解の公式を使用する手順

最初の方程式を考えなさい。 両辺から kx を減算します。

$$y-kx=b$$

2 番目の方程式を考えなさい。 方程式の両辺に 4 を乗算します。

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

2 つの方程式を代入を使用して解くには、まず、変数の 1 つを 1 つの方程式で解きます。そして、もう 1 つの方程式の変数にその結果を代入します。

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

等号の左辺が 1 つの y だけになるようにして、y+\left(-k\right)x=b を y について解きます。

$$y+\left(-k\right)x=b$$

方程式の両辺から \left(-k\right)x を減算します。

$$y=kx+b$$

他の方程式、x^{2}+4y^{2}=4 の y に kx+b を代入します。

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b を 2 乗します。

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 と k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} を乗算します。

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2} を 4k^{2}x^{2} に加算します。

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

方程式の両辺から 4 を減算します。

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1+4k^{2} を代入し、b に 4\times 2kb を代入し、c に -4+4b^{2} を代入します。

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb を 2 乗します。

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 と 1+4k^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} と -4+4b^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2} を -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) に加算します。

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 の平方根をとります。

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 と 1+4k^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} の解を求めます。 -8kb を 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} に加算します。

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} を 2+8k^{2} で除算します。

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} の解を求めます。 -8kb から 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} を減算します。

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} を 2+8k^{2} で除算します。

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x には 2 つの解、\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} と -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} があります。\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} を方程式 y=kx+b の x に代入して、両方の方程式を満たす y に対応する解を求めます。

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k と \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} を乗算します。

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

方程式 y=kx+b の x に -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} を代入して、両方の方程式を満たす y の対応する解を求めます。

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k と -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} を乗算します。

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

連立方程式は解決しました。

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x,y を解く (複素数の解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$