{l}{y=k(x+1)}{x^2/2+y^2=1} を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k ( x + 1 ) } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x,y を解く

$$x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

代入と二次方程式の解の公式を使用する手順

最初の方程式を考えなさい。 分配則を使用して k と x+1 を乗算します。

$$y=kx+k$$

他の方程式、x^{2}+2y^{2}=2 の y に kx+k を代入します。

$$x^{2}+2\left(kx+k\right)^{2}=2$$

kx+k を 2 乗します。

$$x^{2}+2\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=2$$

2 と k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} を乗算します。

$$x^{2}+2k^{2}x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

x^{2} を 2k^{2}x^{2} に加算します。

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

方程式の両辺から 2 を減算します。

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}-2=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1+2k^{2} を代入し、b に 2\times 2kk を代入し、c に 2k^{2}-2 を代入します。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{\left(4k^{2}\right)^{2}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2\times 2kk を 2 乗します。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4 と 1+2k^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+\left(-8k^{2}-4\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4-8k^{2} と 2k^{2}-2 を乗算します。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+8+8k^{2}-16k^{4}}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

16k^{4} を -16k^{4}+8k^{2}+8 に加算します。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{8k^{2}+8}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

8k^{2}+8 の平方根をとります。

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2 と 1+2k^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2} の解を求めます。 -4k^{2} を 2\sqrt{2k^{2}+2} に加算します。

$$x=\frac{-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2} を 2+4k^{2} で除算します。

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2} の解を求めます。 -4k^{2} から 2\sqrt{2k^{2}+2} を減算します。

$$x=\frac{-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2} を 2+4k^{2} で除算します。

$$x=-\frac{2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

x には 2 つの解、\frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} と -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}} があります。\frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} を方程式 y=kx+k の x に代入して、両方の方程式を満たす y に対応する解を求めます。

$$y=k\times \frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}+k$$

k と \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} を乗算します。

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k$$

方程式 y=kx+k の x に -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}} を代入して、両方の方程式を満たす y の対応する解を求めます。

$$y=k\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)+k$$

k と -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}} を乗算します。

$$y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k$$

連立方程式は解決しました。

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k,x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k,x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}$$

x,y を解く (複素数の解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{; }x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=\frac{1-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+1}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$