\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.
x,y を解く
x=96
y=108
グラフ
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\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
2 番目の方程式を考えなさい。 両辺から \frac{3}{4}x を減算します。
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
2 つの方程式を代入を使用して解くには、まず、変数の 1 つを 1 つの方程式で解きます。そして、もう 1 つの方程式の変数にその結果を代入します。
x+y=204
方程式のいずれかを選択し、等号の左辺が 1 つの x だけになるようにして、x について解きます。
x=-y+204
方程式の両辺から y を減算します。
-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0
他の方程式、-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 の x に -y+204 を代入します。
\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0
-\frac{3}{4} と -y+204 を乗算します。
\frac{17}{12}y-153=0
\frac{3y}{4} を \frac{2y}{3} に加算します。
\frac{17}{12}y=153
方程式の両辺に 153 を加算します。
y=108
方程式の両辺を \frac{17}{12} で除算します。これは、両辺に分数の逆数を掛けることと同じです。
x=-108+204
x=-y+204 の y に 108 を代入します。その結果、方程式には 1 つの変数のみ含まれるため、x を直接解くことができます。
x=96
204 を -108 に加算します。
x=96,y=108
連立方程式は解決しました。
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
2 番目の方程式を考えなさい。 両辺から \frac{3}{4}x を減算します。
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
方程式を標準形にしてから、行列を使って一次方程式を解きます。
\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
行列形式で方程式を記述します。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
方程式を \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) の逆行列で左乗算します。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
行列とその逆行列の積は単位行列です。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
等号の左辺の行列を乗算します。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
2\times 2 の行列 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) では、逆行列は \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) です。そのため、行列方程式は行列乗算問題として書き換えることができます。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
算術演算を実行します。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)
行列を乗算します。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)
算術演算を実行します。
x=96,y=108
行列の要素 x と y を求めます。
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
2 番目の方程式を考えなさい。 両辺から \frac{3}{4}x を減算します。
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
消去法で解くには、1 つの方程式がもう 1 つの方程式から減算されるときに変数が消えるように、いずれかの変数の係数が両方の方程式で同じである必要があります。
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
x と -\frac{3x}{4} を等しくするには、一次方程式の各辺のすべての項を -\frac{3}{4} で乗算し、二次方程式の各辺のすべての項を 1 で乗算します。
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
簡約化します。
-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 から -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 を減算するには、等号の両辺の同類項を減算します。
-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
-\frac{3x}{4} を \frac{3x}{4} に加算します。 項 -\frac{3x}{4} と \frac{3x}{4} は約分され、解くことができる唯一の変数を持つ方程式が残ります。
-\frac{17}{12}y=-153
-\frac{3y}{4} を -\frac{2y}{3} に加算します。
y=108
方程式の両辺を -\frac{17}{12} で除算します。これは、両辺に分数の逆数を掛けることと同じです。
-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0
-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 の y に 108 を代入します。その結果、方程式には 1 つの変数のみ含まれるため、x を直接解くことができます。
-\frac{3}{4}x+72=0
\frac{2}{3} と 108 を乗算します。
-\frac{3}{4}x=-72
方程式の両辺から 72 を減算します。
x=96
方程式の両辺を -\frac{3}{4} で除算します。これは、両辺に分数の逆数を掛けることと同じです。
x=96,y=108
連立方程式は解決しました。
例
二次方程式の公式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角法
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
一次方程式
y = 3x + 4
算術
699 * 533
マトリックス
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
連立方程式
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分法
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分法
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限界
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}