{l}{12y+20x=112}{12x+20y=144} を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 y + 20 x = 112 } \\ { 12 x + 20 y = 144 } \end{array} \right.$$

y,x を解く

$$x=2$$

$$y=6$$

代入を使用する手順

2 つの方程式を代入を使用して解くには、まず、変数の 1 つを 1 つの方程式で解きます。そして、もう 1 つの方程式の変数にその結果を代入します。

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

方程式のいずれかを選択し、等号の左辺が 1 つの y だけになるようにして、y について解きます。

$$12y+20x=112$$

方程式の両辺から 20x を減算します。

$$12y=-20x+112$$

両辺を 12 で除算します。

$$y=\frac{1}{12}\left(-20x+112\right)$$

\frac{1}{12} と -20x+112 を乗算します。

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}$$

他の方程式、20y+12x=144 の y に \frac{-5x+28}{3} を代入します。

$$20\left(-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}\right)+12x=144$$

20 と \frac{-5x+28}{3} を乗算します。

$$-\frac{100}{3}x+\frac{560}{3}+12x=144$$

-\frac{100x}{3} を 12x に加算します。

$$-\frac{64}{3}x+\frac{560}{3}=144$$

方程式の両辺から \frac{560}{3} を減算します。

$$-\frac{64}{3}x=-\frac{128}{3}$$

方程式の両辺を -\frac{64}{3} で除算します。これは、両辺に分数の逆数を掛けることと同じです。

$$x=2$$

y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3} の x に 2 を代入します。その結果、方程式には 1 つの変数のみ含まれるため、y を直接解くことができます。

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{28}{3}$$

-\frac{5}{3} と 2 を乗算します。

$$y=\frac{-10+28}{3}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{28}{3} を -\frac{10}{3} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$y=6$$

連立方程式は解決しました。

$$y=6,x=2$$

行列を使用する手順

方程式を標準形にしてから、行列を使って一次方程式を解きます。

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

行列形式で方程式を記述します。

$$\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

方程式を \left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right) の逆行列で左乗算します。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

行列とその逆行列の積は単位行列です。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

等号の左辺の行列を乗算します。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

2\times 2 行列 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)について、逆行列は \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)です。従って行列の方程式は行列の積の問題として書き下すことができます。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12\times 12-20\times 20}&-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}\\-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}&\frac{12}{12\times 12-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

算術演算を実行します。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}&\frac{5}{64}\\\frac{5}{64}&-\frac{3}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

行列を乗算します。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}\times 112+\frac{5}{64}\times 144\\\frac{5}{64}\times 112-\frac{3}{64}\times 144\end{matrix}\right)$$

算術演算を実行します。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

行列の要素 y と x を求めます。

$$y=6,x=2$$

消去法を使用する手順

消去法で解くには、1 つの方程式がもう 1 つの方程式から減算されるときに変数が消えるように、いずれかの変数の係数が両方の方程式で同じである必要があります。

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

12y と 20y を等しくするには、一次方程式の各辺のすべての項を 20 で乗算し、二次方程式の各辺のすべての項を 12 で乗算します。

$$20\times 12y+20\times 20x=20\times 112,12\times 20y+12\times 12x=12\times 144$$

簡約化します。

$$240y+400x=2240,240y+144x=1728$$

240y+400x=2240 から 240y+144x=1728 を減算するには、等号の両辺の同類項を減算します。

$$240y-240y+400x-144x=2240-1728$$

240y を -240y に加算します。 項 240y と -240y は約分され、解くことができる唯一の変数を持つ方程式が残ります。

$$400x-144x=2240-1728$$

400x を -144x に加算します。

$$256x=2240-1728$$

2240 を -1728 に加算します。

$$256x=512$$

両辺を 256 で除算します。

$$x=2$$

20y+12x=144 の x に 2 を代入します。その結果、方程式には 1 つの変数のみ含まれるため、y を直接解くことができます。

$$20y+12\times 2=144$$

12 と 2 を乗算します。

$$20y+24=144$$

方程式の両辺から 24 を減算します。

$$20y=120$$

両辺を 20 で除算します。

$$y=6$$

連立方程式は解決しました。

$$y=6,x=2$$