\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.
x,y を解く
x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538
y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385
グラフ
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4x+3y=6\times 2-2\times 6
最初の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 12 (3,4,2,6 の最小公倍数) で乗算します。
4x+3y=12-12
乗算を行います。
4x+3y=0
12 から 12 を減算して 0 を求めます。
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
2 番目の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 20 (5,2,4,10 の最小公倍数) で乗算します。
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して 4 と 2x+y を乗算します。
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して -10 と y-2 を乗算します。
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y と -10y をまとめて -6y を求めます。
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して 5 と x+y-3 を乗算します。
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
分配則を使用して -2 と y-x-1 を乗算します。
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y と -2y をまとめて 3y を求めます。
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x と 2x をまとめて 7x を求めます。
8x-6y+20=7x+3y-13
-15 と 2 を加算して -13 を求めます。
8x-6y+20-7x=3y-13
両辺から 7x を減算します。
x-6y+20=3y-13
8x と -7x をまとめて x を求めます。
x-6y+20-3y=-13
両辺から 3y を減算します。
x-9y+20=-13
-6y と -3y をまとめて -9y を求めます。
x-9y=-13-20
両辺から 20 を減算します。
x-9y=-33
-13 から 20 を減算して -33 を求めます。
4x+3y=0,x-9y=-33
2 つの方程式を代入を使用して解くには、まず、変数の 1 つを 1 つの方程式で解きます。そして、もう 1 つの方程式の変数にその結果を代入します。
4x+3y=0
方程式のいずれかを選択し、等号の左辺が 1 つの x だけになるようにして、x について解きます。
4x=-3y
方程式の両辺から 3y を減算します。
x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y
両辺を 4 で除算します。
x=-\frac{3}{4}y
\frac{1}{4} と -3y を乗算します。
-\frac{3}{4}y-9y=-33
他の方程式、x-9y=-33 の x に -\frac{3y}{4} を代入します。
-\frac{39}{4}y=-33
-\frac{3y}{4} を -9y に加算します。
y=\frac{44}{13}
方程式の両辺を -\frac{39}{4} で除算します。これは、両辺に分数の逆数を掛けることと同じです。
x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}
x=-\frac{3}{4}y の y に \frac{44}{13} を代入します。その結果、方程式には 1 つの変数のみ含まれるため、x を直接解くことができます。
x=-\frac{33}{13}
分子と分子、分母と分母を乗算することで、-\frac{3}{4} と \frac{44}{13} を乗算します。次に、可能であれば分数を約分します。
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
連立方程式は解決しました。
4x+3y=6\times 2-2\times 6
最初の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 12 (3,4,2,6 の最小公倍数) で乗算します。
4x+3y=12-12
乗算を行います。
4x+3y=0
12 から 12 を減算して 0 を求めます。
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
2 番目の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 20 (5,2,4,10 の最小公倍数) で乗算します。
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して 4 と 2x+y を乗算します。
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して -10 と y-2 を乗算します。
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y と -10y をまとめて -6y を求めます。
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して 5 と x+y-3 を乗算します。
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
分配則を使用して -2 と y-x-1 を乗算します。
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y と -2y をまとめて 3y を求めます。
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x と 2x をまとめて 7x を求めます。
8x-6y+20=7x+3y-13
-15 と 2 を加算して -13 を求めます。
8x-6y+20-7x=3y-13
両辺から 7x を減算します。
x-6y+20=3y-13
8x と -7x をまとめて x を求めます。
x-6y+20-3y=-13
両辺から 3y を減算します。
x-9y+20=-13
-6y と -3y をまとめて -9y を求めます。
x-9y=-13-20
両辺から 20 を減算します。
x-9y=-33
-13 から 20 を減算して -33 を求めます。
4x+3y=0,x-9y=-33
方程式を標準形にしてから、行列を使って一次方程式を解きます。
\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
行列形式で方程式を記述します。
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
方程式を \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right) の逆行列で左乗算します。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
行列とその逆行列の積は単位行列です。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
等号の左辺の行列を乗算します。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
2\times 2 行列 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)について、逆行列は \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)です。従って行列の方程式は行列の積の問題として書き下すことができます。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
算術演算を実行します。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)
行列を乗算します。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)
算術演算を実行します。
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
行列の要素 x と y を求めます。
4x+3y=6\times 2-2\times 6
最初の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 12 (3,4,2,6 の最小公倍数) で乗算します。
4x+3y=12-12
乗算を行います。
4x+3y=0
12 から 12 を減算して 0 を求めます。
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
2 番目の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 20 (5,2,4,10 の最小公倍数) で乗算します。
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して 4 と 2x+y を乗算します。
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して -10 と y-2 を乗算します。
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y と -10y をまとめて -6y を求めます。
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
分配則を使用して 5 と x+y-3 を乗算します。
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
分配則を使用して -2 と y-x-1 を乗算します。
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y と -2y をまとめて 3y を求めます。
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x と 2x をまとめて 7x を求めます。
8x-6y+20=7x+3y-13
-15 と 2 を加算して -13 を求めます。
8x-6y+20-7x=3y-13
両辺から 7x を減算します。
x-6y+20=3y-13
8x と -7x をまとめて x を求めます。
x-6y+20-3y=-13
両辺から 3y を減算します。
x-9y+20=-13
-6y と -3y をまとめて -9y を求めます。
x-9y=-13-20
両辺から 20 を減算します。
x-9y=-33
-13 から 20 を減算して -33 を求めます。
4x+3y=0,x-9y=-33
消去法で解くには、1 つの方程式がもう 1 つの方程式から減算されるときに変数が消えるように、いずれかの変数の係数が両方の方程式で同じである必要があります。
4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)
4x と x を等しくするには、一次方程式の各辺のすべての項を 1 で乗算し、二次方程式の各辺のすべての項を 4 で乗算します。
4x+3y=0,4x-36y=-132
簡約化します。
4x-4x+3y+36y=132
4x+3y=0 から 4x-36y=-132 を減算するには、等号の両辺の同類項を減算します。
3y+36y=132
4x を -4x に加算します。 項 4x と -4x は約分され、解くことができる唯一の変数を持つ方程式が残ります。
39y=132
3y を 36y に加算します。
y=\frac{44}{13}
両辺を 39 で除算します。
x-9\times \frac{44}{13}=-33
x-9y=-33 の y に \frac{44}{13} を代入します。その結果、方程式には 1 つの変数のみ含まれるため、x を直接解くことができます。
x-\frac{396}{13}=-33
-9 と \frac{44}{13} を乗算します。
x=-\frac{33}{13}
方程式の両辺に \frac{396}{13} を加算します。
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
連立方程式は解決しました。
例
二次方程式の公式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角法
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
一次方程式
y = 3x + 4
算術
699 * 533
マトリックス
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
連立方程式
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分法
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分法
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限界
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}