∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int_{ 0 }^{ 2 \pi } \int_{ 0 }^{ 1 } r \sqrt{ 4 { r }^{ 2 } +1 } d r d \theta$$

計算

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5.3304135$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}\theta =a\theta の表を使用して、\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r の積分を見つけます。

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

簡約化します。

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

簡約化します。

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$