∫ (from 0 to 1) of (3x^3-x^2+2x-4) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int_{ 0 }^{ 1 } (3 { x }^{ 3 } - { x }^{ 2 } +2x-4) d x$$

計算

$$-\frac{31}{12}\approx -2.583333333$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int 3x^{3}-x^{2}+2x-4\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。 3 と \frac{x^{4}}{4} を乗算します。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 -1 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 2 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int -4\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、-4 の積分を見つけます。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{3}{4}\times 1^{4}-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}-4-\left(\frac{3}{4}\times 0^{4}-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}-4\times 0\right)$$

簡約化します。

$$-\frac{31}{12}$$