∫ (from 0 to 1) of x^2left(x-4right)^2 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { x }^{ 2 } { \left(x-4 \right) }^{ 2 } d x$$

計算

$$\frac{53}{15}\approx 3.533333333$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(x-4\right)^{2} を展開します。

$$\int _{0}^{1}x^{2}\left(x^{2}-8x+16\right)\mathrm{d}x$$

分配則を使用して x^{2} と x^{2}-8x+16 を乗算します。

$$\int _{0}^{1}x^{4}-8x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int x^{4}-8x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -8x^{3}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{4}\mathrm{d}x を \frac{x^{5}}{5} に置き換えます。

$$\frac{x^{5}}{5}-8\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。 -8 と \frac{x^{4}}{4} を乗算します。

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 16 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+\frac{16x^{3}}{3}$$

簡約化します。

$$\frac{16x^{3}}{3}-2x^{4}+\frac{x^{5}}{5}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{16}{3}\times 1^{3}-2\times 1^{4}+\frac{1^{5}}{5}-\left(\frac{16}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{4}+\frac{0^{5}}{5}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{53}{15}$$