∫ (from 0 to 1) of {left(1-sqrt{x}right)}^2 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { \left(1- \sqrt{ x } \right) }^{ 2 } d x$$

計算

$$\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(1-\sqrt{x}\right)^{2} を展開します。

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} の 2 乗を計算して x を求めます。

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int 1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、1 の積分を見つけます。

$$x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} を x^{\frac{1}{2}} に書き換えます。 k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x を \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} に置き換えます。 簡約化します。 -2 と \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} を乗算します。

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

簡約化します。

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}+1-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}+0\right)$$

簡約化します。

$$\frac{1}{6}$$