∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

計算

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

\int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x を使用して、定数を因数分解します。

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x を \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5} に置き換えます。

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

簡約化します。

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

簡約化します。

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$