∫ (from -1 to 7) of 2x+5-(x^2-2x) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int_{ -1 }^{ 7 } 2x+5-( { x }^{ 2 } -2x) d x$$

計算

$$\frac{64}{3}\approx 21.333333333$$

解の手順

x^{2}-2x の反数を求めるには、各項の半数を求めます。

$$\int _{-1}^{7}2x+5-x^{2}+2x\mathrm{d}x$$

2x と 2x をまとめて 4x を求めます。

$$\int _{-1}^{7}4x+5-x^{2}\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int 4x+5-x^{2}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 4 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$2x^{2}+\int 5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、5 の積分を見つけます。

$$2x^{2}+5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 -1 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$2x^{2}+5x-\frac{x^{3}}{3}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$2\times 7^{2}+5\times 7-\frac{7^{3}}{3}-\left(2\left(-1\right)^{2}+5\left(-1\right)-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{64}{3}$$