∫ x^5+x^3-20x/x+2 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int{ \frac{ { x }^{ 5 } + { x }^{ 3 } -20x }{ x+2 } }d x$$

計算

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-5x^{2}+С$$

解の手順

まだ因数分解されていない式を \frac{x^{5}+x^{3}-20x}{x+2} に因数分解します。

$$\int \frac{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+5\right)}{x+2}\mathrm{d}x$$

分子と分母の両方の x+2 を約分します。

$$\int x\left(x-2\right)\left(x^{2}+5\right)\mathrm{d}x$$

式を展開します。

$$\int x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-10x\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -2x^{3}\mathrm{d}x+\int 5x^{2}\mathrm{d}x+\int -10x\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{2}\mathrm{d}x-10\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{4}\mathrm{d}x を \frac{x^{5}}{5} に置き換えます。

$$\frac{x^{5}}{5}-2\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{2}\mathrm{d}x-10\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。 -2 と \frac{x^{4}}{4} を乗算します。

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+5\int x^{2}\mathrm{d}x-10\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 5 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-10\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -10 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-5x^{2}$$

簡約化します。

$$-5x^{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{5}$$

F\left(x\right) が f\left(x\right) の不定積分である場合、f\left(x\right) のすべての不定積分のセットは F\left(x\right)+C によって与えられます。したがって、積分定数 C\in \mathrm{R} を結果に追加します。

$$-5x^{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{5}+С$$

x で微分する

$$x\left(x-2\right)\left(x^{2}+5\right)$$