∫ x(x+1)^2 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int x ( x + 1 ) ^ { 2 }$$

計算

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

解の手順

二項定理の \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} を使用して \left(x+1\right)^{2} を展開します。

$$\int x\left(x^{2}+2x+1\right)\mathrm{d}x$$

分配則を使用して x と x^{2}+2x+1 を乗算します。

$$\int x^{3}+2x^{2}+x\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。

$$\frac{x^{4}}{4}+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 2 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

簡約化します。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

F\left(x\right) が f\left(x\right) の不定積分である場合、f\left(x\right) のすべての不定積分のセットは F\left(x\right)+C によって与えられます。したがって、積分定数 C\in \mathrm{R} を結果に追加します。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+С$$

x で微分する

$$x\left(x+1\right)^{2}$$