∫ _{R_{1}}^R_{2}(x^2+y^2) を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } )$$

計算

$$\frac{\left(R_{2}-R_{1}\right)\left(3y^{2}+R_{1}R_{2}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right)}{3}$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int x^{2}+y^{2}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。

$$\frac{x^{3}}{3}+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、y^{2} の積分を見つけます。

$$\frac{x^{3}}{3}+y^{2}x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{R_{2}^{3}}{3}+y^{2}R_{2}-\left(\frac{R_{1}^{3}}{3}+y^{2}R_{1}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{\left(-R_{1}+R_{2}\right)\left(3y^{2}+R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}+R_{2}^{2}\right)}{3}$$

y で微分する

$$2y\left(R_{2}-R_{1}\right)$$