∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

計算

$$\frac{271}{6}\approx 45.166666667$$

解の手順

分配則を使用して \sqrt{x}+1 と \sqrt{x} を乗算します。

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} の 2 乗を計算して x を求めます。

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} を x^{\frac{1}{2}} に書き換えます。 k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x を \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} に置き換えます。 簡約化します。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{271}{6}$$