∫ (from 1 to 8) of (1/sqrt{x}-3x+5) wrt x= を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 1 } ^ { 8 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - 3 x + 5 ) d x =$$

計算

$$4\sqrt{2}-\frac{123}{2}\approx -55.843145751$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-3x+5\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -3x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

\frac{1}{\sqrt{x}} を x^{-\frac{1}{2}} に書き換えます。 k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x を \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} に置き換えます。 簡約化して、指数からべき乗根形式に変換します。

$$2\sqrt{x}-3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -3 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$2\sqrt{x}-\frac{3x^{2}}{2}+\int 5\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、5 の積分を見つけます。

$$2\sqrt{x}-\frac{3x^{2}}{2}+5x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$2\times 8^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\times 8^{2}+5\times 8-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\times 1^{2}+5\times 1\right)$$

簡約化します。

$$4\sqrt{2}-\frac{123}{2}$$