∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

計算

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(4-\sqrt{x}\right)^{2} を展開します。

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} の 2 乗を計算して x を求めます。

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

16-8\sqrt{x}+x の反数を求めるには、各項の半数を求めます。

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

6 から 16 を減算して -10 を求めます。

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、-10 の積分を見つけます。

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} を x^{\frac{1}{2}} に書き換えます。 k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x を \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} に置き換えます。 簡約化します。 8 と \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} を乗算します。

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -1 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

簡約化します。

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

簡約化します。

$$-\frac{16}{3}$$