∫ (from 0 to 3) of 5(2-2/3x)^2 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } 5 ( 2 - \frac { 2 } { 3 } x ) ^ { 2 }$$

計算

$$20$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(2-\frac{2}{3}x\right)^{2} を展開します。

$$\int _{0}^{3}5\left(4-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

分配則を使用して 5 と 4-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}x^{2} を乗算します。

$$\int _{0}^{3}20-\frac{40}{3}x+\frac{20}{9}x^{2}\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int 20-\frac{40x}{3}+\frac{20x^{2}}{9}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 20\mathrm{d}x+\int -\frac{40x}{3}\mathrm{d}x+\int \frac{20x^{2}}{9}\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int 20\mathrm{d}x-\frac{40\int x\mathrm{d}x}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、20 の積分を見つけます。

$$20x-\frac{40\int x\mathrm{d}x}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -\frac{40}{3} と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$20x-\frac{20x^{2}}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 \frac{20}{9} と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$20x-\frac{20x^{2}}{3}+\frac{20x^{3}}{27}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$20\times 3-\frac{20}{3}\times 3^{2}+\frac{20}{27}\times 3^{3}-\left(20\times 0-\frac{20}{3}\times 0^{2}+\frac{20}{27}\times 0^{3}\right)$$

簡約化します。

$$20$$