∫ (from 0 to 2) of (x^3+2x^2-3) wrt x= を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 3 ) d x =$$

計算

$$\frac{10}{3}\approx 3.333333333$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int x^{3}+2x^{2}-3\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。

$$\frac{x^{4}}{4}+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 2 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\int -3\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、-3 の積分を見つけます。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}-3x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{2^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 2^{3}-3\times 2-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}-3\times 0\right)$$

簡約化します。

$$\frac{10}{3}$$