∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

計算

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

\int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x を使用して、定数を因数分解します。

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

簡約化します。

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

簡約化します。

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

h で微分する

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$