∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1gammasqrt{4r^2+1}drdθ を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma \sqrt { 4 r ^ { 2 } + 1 } d r d \theta$$

計算

$$\frac{\pi \left(\ln(\sqrt{5}+2)+2\sqrt{5}\right)\gamma }{2}$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int \int _{0}^{1}\gamma \sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}\theta =a\theta の表を使用して、\int _{0}^{1}\gamma \sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r の積分を見つけます。

$$\int _{0}^{1}\gamma \sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

簡約化します。

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\right)\gamma \theta }{4}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{1}{4}\left(2\times 5^{\frac{1}{2}}+\ln(2+5^{\frac{1}{2}})\right)\gamma \times 2\pi -\frac{1}{4}\left(2\times 5^{\frac{1}{2}}+\ln(2+5^{\frac{1}{2}})\right)\gamma \times 0$$

簡約化します。

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\right)\gamma \pi }{2}$$

γ で微分する

$$\frac{\pi \ln(\sqrt{5}+2)}{2}+\pi \sqrt{5}$$